Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания

Содержание
  1. Простейшие тригонометрические уравнения (задание 5) и неравенства
  2. Особенности методов решения тригонометрических уравнений и неравенств в школьном курсе математики
  3. Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания
  4. 2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)
  5. 3. Простейшие тригонометрические уравнения
  6. 4. Формулы приведения
  7. 5. Свойства и график функции y = sin x
  8. 6. Свойства и график функции y = cos x
  9. 7. Свойства и графики функций y = tg x и y = ctg x
  10. 8. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
  11. Формула косинуса суммы
  12. Формула косинуса разности
  13. Формула синуса разности
  14. Формула тангенса двойного угла
  15. 13. Решение тригонометрических уравнений
  16. Уравнения, сводящиеся к квадратам
  17. Однородные тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения (задание 5) и неравенства

Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания

\(\blacktriangleright\) Стандартные (простейшие) тригонометричекие уравнения — это уравнения вида
\(\sin x=a,\quad \cos x=a,\quad\mathrm{tg}\,x=b,\quad\mathrm{ctg}\,x=b\), которые имеют смысл при \(-1\leq a\leq 1,\quad b\in \mathbb{R}\).

Для решения данных уравнения удобно пользоваться единичной окружностью (радиус равен \(1\)).

\[{\color{red}{\text{Решение простейших тригонометрических уравнений}}}\]

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Решить уравнение \(\sin x=\dfrac12\).

Найдем на оси синусов точку \(\dfrac12\) и проведем прямую параллельно оси \(Ox\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, синус которых равен \(\dfrac12\).

Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(\dfrac{5\pi}6\).

Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным углам \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число (т.е. поворотом от данных на целое число полных кругов).

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac{\pi}6+2\pi n,\x_2=\dfrac{5\pi}6+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

Пример 2. Решить уравнение \(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\).

Найдем на оси косинусов точку \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\) и проведем прямую параллельно оси \(Oy\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, косинус которых равен \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\).

Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{3\pi}4\) и \(-\dfrac{3\pi}4\).

Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число.

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac{3\pi}4+2\pi n,\x_2=-\dfrac{3\pi}4+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sqrt3}3\).

Найдем на оси тангенсов точку \(\dfrac{\sqrt3}3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, тангенс которых равен \(\dfrac{\sqrt3}3\).

Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(-\dfrac{5\pi}6\).

Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pin\).

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac{\pi}6+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

Пример 4. Решить уравнение \(\mathrm{ctg}\,x=\sqrt3\).

Найдем на оси котангенсов точку \(\sqrt3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, котангенс которых равен \(\sqrt3\).

Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(-\dfrac{5\pi}6\).

Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pin\).

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac{\pi}6+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

\(\blacktriangleright\) Решения для любого стандартного тригонометрического уравнения выглядят следующим образом: \[\begin{array}{l|c|c}\hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\\hline &&\\\sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[\begin{gathered}\begin{aligned}&x=\arcsin a+2\pi n\\&x=\pi -\arcsin a+2\pi n\end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\\hline &&\\\cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\\&&\\\hline &&\\\mathrm{tg}\, x=b & b\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, b+\pi n, \n\in\mathbb{Z}\\&&\\\hline &&\\\mathrm{ctg}\,x=b & b\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, b+\pi n, \n\in\mathbb{Z}\\&&\\\hline\end{array}\] Иногда для более короткой записи решение для \(\sin x=a\) записывают как \(x=(-1)k\cdot \arcsin a+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}\).

\(\blacktriangleright\) Любые уравнения вида \(\mathrm{G}\,\big(f(x)\big)=a\), (где \(\mathrm{G}\) — одна из функций \(\sin, \ \cos, \ \mathrm{tg},\ \mathrm{ctg}\), а аргумент \(f(x)\) — некоторая функция) сводятся к стандартным уравнениям путем замены \(t=f(x)\).

Пример 5. Решить уравнение \(\sin{(\pix+\dfrac{\pi}3)}=1\).

Сделав замену \(t=\pi x+\dfrac{\pi}3\), мы сведем уравнение к виду \(\sin t=1\). Решением данного уравнения являются \(t=\dfrac{\pi}2+2\pin, n\in\mathbb{Z}\).

Теперь сделаем обратную замену и получим: \(\pix+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}2+2\pi n\), откуда \(x=\dfrac16+2n,\n\in\mathbb{Z}\).

\[{\color{red}{\text{Объединение корней}}}\]

Если \(n\) точек, являющихся решением уравнения или системы, разбивают окружность на \(n\) равных частей, то их можно объединить в одну формулу: \(x=\alpha+\dfrac{2\pi}n,\ n\in\mathbb{Z}\), где \(\alpha\) — один из этих углов.

Рассмотрим данную ситуацию на примере:

Пример 6. Допустим, решением системы являются \(x_1=\pm\dfrac{\pi}4+2\pi n, \ x_2=\pm \dfrac{3\pi}4+2\pi n, \n\in\mathbb{Z}\). Отметим эти точки на окружности:

Заметим, что длины дуг \(\buildrel\smile\over{AB},\buildrel\smile\over{BC}, \buildrel\smile\over{CD},\buildrel\smile\over{DA}\) равны \(\dfrac{\pi}2\), то есть эти точки разбили окружность на \(4\) равных части. Таким образом, ответ можно записать в виде одной формулы: \(x=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2n, \n\in\mathbb{Z}\).

\[{\color{red}{\text{Геометрическая интерпретация решений неравенстввида }\mathrm{G}\,(x) \lor a,}}\]

где \(\lor\) — один из знаков \(\leq,\ ,\ \geq\).

Пример 7. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\sin x>\dfrac12\).

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\sin x =\dfrac12\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, синус которых больше \(\dfrac12\), находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\), а конец — \(B\).

Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac{\pi}6\). Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac{\pi}6\), но ближайший к нему, и чтобы синус этого угла также был равен \(\dfrac12\). Это угол \(\dfrac{5\pi}6\).

Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac{\pi}6;\dfrac{5\pi}6\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным).

А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(\dfrac{\pi}6+2\pi n;\dfrac{5\pi}6+2\pin\right), n\in\mathbb{Z}\), т.к. у синуса период \(2\pi\).

Пример 8. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\cos x0\end{cases}\)

Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac{\pi}3+2\pi n,\x_2=-\dfrac{\pi}3+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\). Подставим в неравенство \(\sin x+\cos x>0\) по очереди оба корня:

\(\sin x_1+\cos x_1=\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12>0\), следовательно, корень \(x_1\) нам подходит;

\(\sin x x_2+\cos x_2=-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12

Источник: https://shkolkovo.net/theory/25

Особенности методов решения тригонометрических уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания

Особенности методов решения тригонометрических уравнений и неравенств в школьном курсе математики

В настоящее время развивающая функция обучения стала приоритетной в школьном образовании. То есть на первом месте стоит задача сформировать интеллектуально развитую личность в процессе учебно-познавательной деятельности. И, бесспорно, математика является одним из главных предметов школьного курса, который помогает в воспитании мыслящей личности.

Математика имеет множество разделов, с каждым из которых связаны свои трудности и сложности. Однако в этой статье я хотел бы рассмотреть такой раздел математики, как тригонометрия.

Уже давно можно сказать, что тригонометрия не существует как отдельная дисциплина школьного курса. Она входит как в геометрию и алгебру, так и в алгебру и начала анализа.

Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе. Еще греки на заре человечества, считали тригонометрия важнейшей из наук.

Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.

В школьном математическом образовании с изучением тригонометрических уравнений и неравенств связаны несколько направлений:

1. Решение уравнений и неравенств;

2. Решение систем уравнений и неравенств;

3. Доказательство неравенств.

Анализ учебной, научно-методической литературы показывает, что большое внимание уделяется первому и второму направлениям.

Существует множество различных методов решения тригонометрических уравнений и неравенств. Познакомимся для начала со способами решения тригонометрических уравнений. Существует семь основных видов решения данных уравнений.

  1. Алгебраический метод или метод замены переменной

  2. Разложение на множители

  3. Приведение к однородному уравнению Уравнение называется однородным относительно  sinх  и  cosх, если все его члены одной и той же степени относительно sinх  и cosх  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо: 

   а)  перенести все его члены в левую часть;

    б)  вынести все общие множители за скобки;

   в)  приравнять все множители и скобки нулю;

   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cosх ( или sinх ) в старшей степени; 

    д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg x . 

  1. Переход к половинному углу

  2. Введение вспомогательного угла

  3. Преобразования произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы

  4. Универсальная подстановка

Кроме того, стоит отметить графический метод (решение путем построения графика), функциональный метод (в решении используются некоторые теоремы), а также метод функциональной подстановки, который является частным случаем функционального метода. Отдельным случаем функциональной подстановки идет метод тригонометрической подстановки.

При решении систем тригонометрических уравнений мы используем те же методы, что и в алгебре (замены, подстановки, исключения и т.д. ), а также известные методы и формулы тригонометрии.

Любое тригонометрическое неравенство, каким бы большим и запутанным оно не казалось вначале, можно с помощью тождественных преобразований свести к простейшему (нескольким простейшим) тригонометрическим неравенствам.

Затем мы можем решить их либо используя тригонометрический круг, либо сам график полученной функции.

В действительности, в школьном курсе нет жесткой регламентации, каким из указанных двух способов пользоваться при решении тригонометрических неравенств, но тригонометрический круг все же нагляднее.

С помощью тригонометрических тождеств, приводим неравенство к простейшему виду, а затем решаем его, используя тригонометрический круг или график. Для решения также необходимо знать некоторые формулы косинуса, синуса, тангенса, котангенса.

Бесспорно, в настоящее время возросла необходимость усиления прикладных направлений в обучении математике. Как показал анализ содержания школьного математического образования, возможности решения тригонометрических уравнений, а особенно тригонометрических неравенств в этом плане достаточно широки.

Следует отметить, что для успешного решения тригонометрических уравнений и неравенств требуется систематизация знаний учащихся по всем разделам тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т.д.). Кроме того, устанавливаются связи и с изученным материалом по алгебре и геометрии.

Иначе говоря, рассмотрение приёмов решения тригонометрических уравнений и неравенств предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.

Если выделить основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств и разработать методику их формирования, то это будет способствовать качественному научению решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Таким образом, учитель сам обязан в достаточной мере владеть методиками формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства. С учётом того, что тригонометрические уравнения и неравенства разделяются на несколько типов, то соответственно и методика для каждого типа различна.

Бесспорно, достичь поставленной цели с помощью только средств и методов предложенными авторами современных учебников, практически невозможно. Это связано с индивидуальными особенностями учащихся. Ведь в зависимости от уровня их базовых знаний по тригонометрии выстраивается линия возможностей изучения различных видов уравнений и неравенств на разных уровнях.

Другая особенность – в исключительном разнообразии таких уравнений. Именно это разнообразие влечет определенные трудности в их классификации; его следствием могут быть и затруднения в решении тригонометрических уравнений, в частности, — в выборе того приема, который целесообразно применить для получения искомого множества значений переменной.

Указанные особенности должны быть учтены учителем при разработке методики обучения школьников решению тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения и неравенства занимают достойное место в процессе обучения математике и развитии личности в целом.

Источник: https://infourok.ru/osobennosti-metodov-resheniya-trigonometricheskih-uravnenij-i-neravenstv-v-shkolnom-kurse-matematiki-4155121.html

Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания

Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания

Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.

Решение. Косинус — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C(0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: Pα° и Pβ°, симметричных относительно оси абсцисс.

С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой Pα°:

α° ≈ 37° + 360°n, где n — любое целое число.

В силу симметрии относительно оси абсцисс точка Pβ° — конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:

β° ≈ –37° + 360°n, где n — любое целое число.

Ответ: 37° + 360°n, –37° + 360°n, где n— любое целое число.

Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.

Решение. Синус — это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D(0; 0,5).

Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: Pφ и Pπ–φ, симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKPφ катет KPφ равен половине гипотенузы OPφ, значит, 

Общий вид углов поворота с конечной точкой Pφ:

где n — любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой Pπ–φ:

где n — любое целое число.

Ответ:  где n — любое целое число.

2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример 2. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC. Прямая OC пересекает единичную окружность в точках Pα° и Pβ° — концах одного и того же диаметра.

Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n — целое число). С помощью транспортира находим, что угол Pα° OP0 равен –50°.

Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n — целое число)

Ответ: –50° + 180°n, n ∈ Z.

По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,

Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.

α°

30°

45°

60°

φ рад

tg φ

1

ctg φ

1

3. Простейшие тригонометрические уравнения

Вводятся обозначения: arcsin α, arccos α, arctg α, arcctg α. Не рекомендуется торопиться с введением объединенной формулы. Две серии корней значительно удобнее записывать, особенно, когда нужно отбирать корни на интервале.

tg φ = α,

φ = arctg α + πn, n ∊ Z,

т.е. arctg α — угол из промежутка  тангенс которого равен α,

tg (arctg α) = α.

ctg φ = α,

φ = arcctg α + πn, n ∊ Z,

0 < arcctg α < π,

т.е. arcctg α — угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен α,

ctg (arcctg α) = α.

При изучении темы «простейшие тригонометрические уравнения», уравнения чаще всего сводятся к квадратам.

4. Формулы приведения

Формулы приведения являются тождествами, т. е. они верны для любых допустимых значений φ. Анализируя полученную таблицу, можно заметить, что:

1) знак в правой части формулы совпадает со знаком приводимой функции в соответствующей четверти, если считать φ острым углом;

2) название меняют только функции углов  и 

 α

φ + 2πn

– φ

π – φ

π + φ

sin α

sin φ

– sin φ

sin φ

– sin φ

cos α

cos φ

cos φ

– cos φ

– cos φ

tg α

tg φ

– tg φ

– tg φ

tg φ

ctg α

ctg φ

– ctg φ

– ctg φ

ctg φ

α

sin α

cos φ

cos φ

– cos φ

– cos φ

cos α

sin φ

– sin φ

– sin φ

sin φ

tg α

ctg φ

– ctg φ

ctg φ

– ctg φ

ctg α

tg φ

— tg φ

tg φ

– tg φ

5. Свойства и график функции y = sin x

Простейшие тригонометрические неравенства решаются либо по графику, либо на окружности. При решении тригонометрического неравенства на окружности важно не перепутать, какую точку указывать первой.

6. Свойства и график функции y = cos x

Задачу построения графика функции y = cos x можно свести к построению графика функции y = sin x. Действительно, поскольку  график функции y = cos x можно получить из графика функции y = sin x сдвигом последнего вдоль оси абсцисс влево на

7. Свойства и графики функций y = tg x и y = ctg x

Область определения функции y = tg x включает в себя все числа, кроме чисел вида  где n ∈ Z. Как и при построении синусоиды, сначала постараемся получить график функции y = tg x на промежутке

В левом конце этого промежутка тангенс равен нулю, а при приближении к правому концу значения тангенса неограниченно увеличиваются. Графически это выглядит так, как будто график функции y = tg x прижимается к прямой  уходя вместе с ней неограниченно вверх.

8. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Равенства  и  выражают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента φ. С их помощью, зная синус и косинус некоторого угла, можно найти его тангенс и котангенс. Из этих равенств легко получить, что тангенс и котангенс связаны между собой следующим равенством.

tg φ · ctg φ = 1

Есть и другие зависимости между тригонометрическими функциями.

Уравнение единичной окружности с центром в начале координат x2 + y2 = 1 связывает абсциссу и ординату любой точки этой окружности.

Основное тригонометрическое тождество

cos2 φ + sin2 φ = 1

Формула косинуса суммы

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Формула косинуса разности

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Формула синуса разности

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Формула тангенса двойного угла

cos2α = 1 – 2sin2α cos2α = 2cos2α – 1

Пример задания. Решить уравнение

Решение.

Понизим степень еще раз:

Ответ:

13. Решение тригонометрических уравнений

В большинстве случаев исходное уравнение в процессе решения сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям. Однако для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех зависит от знания тригонометрических формул и от умения выбрать из них нужные. При этом обилие различных формул иногда делает этот выбор довольно трудным.

Уравнения, сводящиеся к квадратам

Пример задания. Решить уравнение 2 cos2x + 3 sinx = 0

Решение. С помощью основного тригонометрического тождества это уравнение можно свести к квадратному относительно sinx:

2cos2x + 3sinx = 0, 2(1 – sin2x) + 3sinx = 0,

2 – 2sin2x + 3sinx = 0, 2sin2x – 3sinx – 2 = 0

Введем новую переменную y = sin x, тогда уравнение примет вид: 2y2 – 3y – 2 = 0.

Корни этого уравнения y1 = 2, y2 = –0,5.

Возвращаемся к переменной x и получаем простейшие тригонометрические уравнения:

1) sin x = 2 – это уравнение не имеет корней, так как sin x < 2 при любом значении x;

2) sin x = –0,5, 

Ответ:

Однородные тригонометрические уравнения

Пример задания. Решить уравнение 2sin2x – 3sinxcosx – 5cos2x = 0.

Решение. Рассмотрим два случая:

1) cosx = 0 и 2) cosx ≠ 0.

Случай 1. Если cos x = 0, то уравнение принимает вид 2sin2x = 0, откуда sinx = 0. Но это равенство не удовлетворяет условию cosx = 0, так как ни при каком x косинус и синус одновременно в нуль не обращаются.

Случай 2. Если cos x ≠ 0, то можно разделить уравнение на cos2x и получить 2tg2x – 3tgx – 5 = 0. Вводя новую переменную y = tg x, получаем квадратное уравнение 2y2 – 3y — 5 = 0.

Корни этого уравнения y1 = –1, y2 = 2,5.

Возвращаемся к переменной x.

tg x = 2,5,

x = arctg 2,5 + πn, n ∈ Z.

Ответ:

Уравнение, левая часть которого — многочлен, каждый член которого имеет вторую степень, а правая — нуль, называют однородным уравнением второй степени относительно переменных u и v.

Обозначив в исходном уравнении sin x буквой u, а cos x буквой v, получим уравнение вида au2 + buv + cv2 = 0.

Делением на v2 такое уравнение сводится к квадратному относительно

Напоминаем, что апробировать учебник «Алгебра и начало математического анализа. 10 класс», как и многие другие издания, можно на платформе LECTA. Для этого воспользуйтесь предложением «5 учеников бесплатно».

#ADVERTISING_INSERT#

Источник: https://rosuchebnik.ru/material/kak-nauchit-reshat-trigonometricheskie-uravneniya-i-neravenstva-metodi/

Pravo-consut
Добавить комментарий