Высота в прямоугольном треугольнике – свойства, признаки и формулы расчетов

Содержание
  1. Треугольник. Формулы и свойства треугольников
  2. По величине углов
  3. По числу равных сторон
  4. Свойства углов и сторон треугольника
  5. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  6. Свойства медиан треугольника:
  7. Формулы медиан треугольника
  8. Свойства биссектрис треугольника:
  9. Формулы биссектрис треугольника
  10. Свойства высот треугольника
  11. Формулы высот треугольника
  12. Свойства окружности вписанной в треугольник
  13. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  14. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  15. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  16. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  17. Средняя линия треугольника
  18. Свойства средней линии треугольника
  19. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  20. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  21. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  22. Первый признак подобия треугольников
  23. Второй признак подобия треугольников
  24. Третий признак подобия треугольников
  25. Высота в прямоугольном треугольнике — свойства, признаки и формулы расчетов
  26. Прямоугольный треугольник
  27. Теорема Пифагора
  28. Утверждение о высоте
  29. Тригонометрические функции
  30. Другие соотношения
  31. Примеры решения задач
  32. Сложное задание
  33. Уровень турбо
  34. Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы
  35. Прямоугольный треугольник (понятие, определение):
  36. Признаки равенства прямоугольных треугольников:
  37. Свойства прямоугольного треугольника:
  38. Формулы прямоугольного треугольника:

Треугольник. Формулы и свойства треугольников

Высота в прямоугольном треугольнике – свойства, признаки и формулы расчетов

Определение. Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

По величине углов

  1. Остроугольный треугольник — все углы треугольника острые.
  2. Тупоугольный треугольник — один из углов треугольника тупой (больше 90°).
  3. Прямоугольный треугольник — один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

  1. Разносторонний треугольник — все три стороны не равны.
  2. Равнобедренный треугольник — две стороны равны.
  3. Равносторонним треугольник или правильный треугольник — все три стороны равны.

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

α + β + γ = 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β, тогда a > b

если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a = b = c = 2R
sin αsin βsin γ

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a2 = b2 + c2 — 2bc·cos α

b2 = a2 + c2 — 2ac·cos β

c2 = a2 + b2 — 2ab·cos γ

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 23√2(mb2 + mc2) — ma2

b = 23√2(ma2 + mc2) — mb2

c = 23√2(ma2 + mb2) — mc2

Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

  2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

    AOOD = BOOE = COOF = 21

  3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

    S∆ABD = S∆ACD

    S∆BEA = S∆BEC

    S∆CBF = S∆CAF

  4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

    S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD = S∆COE

  5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 12√2b2+2c2-a2

mb = 12√2a2+2c2-b2

mc = 12√2a2+2b2-c2

Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

  1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

  2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

    AEAB = ECBC

  3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

    Угол между lc и lc' = 90°

  4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√bcp(p — a)b + c

lb = 2√acp(p — b)a + c

lc = 2√abp(p — c)a + b

где p = a + b + c2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2bc cos α2b + c

lb = 2ac cos β2a + c

lc = 2ab cos γ2a + b

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

  • внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
  • совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
  • проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

ha:hb:hc = 1a:1b:1c = (bc):(ac):(ab)

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

ha = 2Sa

hb = 2Sb

hc = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:

ha = bc2R

hb = ac2R

hc = ab2R

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:

r = (a + b — c)(b + c — a)(c + a — b)4(a + b + c)

Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:

Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь:Радиус описанной окружности через площадь и три угла:Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.

rR = 4 sinα2 sinβ2 sinγ2 = cos α + cos β + cos γ — 1

Средняя линия треугольника

Определение. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

1. Любой треугольник имеет три средних линии

2. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

MN = 12AC     KN = 12AB     KM = 12BC

MN || AC     KN || AB     KM || BC

3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника

S∆MBN = 14 S∆ABC

S∆MAK = 14 S∆ABC

S∆NCK = 14 S∆ABC

4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

∆MBN ∼ ∆ABC

∆AMK ∼ ∆ABC

∆KNC ∼ ∆ABC

∆NKM ∼ ∆ABC

Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

    S = 12a · ha
    S = 12b · hb
    S = 12c · hc

  2. Формула площади треугольника по трем сторонам

    S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

    где p = a + b + c2 — полупериметр треугльника.

  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

    S = 12a · b · sin γ
    S = 12b · c · sin α
    S = 12a · c · sin β

  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Определение. Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

Свойства. У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 2.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Определение. Подобные треугольники — треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и ABMN = BCNK = ACMK = k,

где k — коэффициент подобия

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S∆АВСS∆MNK = k2

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

Высота в прямоугольном треугольнике — свойства, признаки и формулы расчетов

Высота в прямоугольном треугольнике – свойства, признаки и формулы расчетов

Следует отметить, что в геометрии существуют элементы, используя которые можно строить простые и сложные фигуры. Простейшим из них считается точка. С ее помощью можно создать прямую, луч, отрезок и угол. Точкой называется базовый «кирпич» геометрии, позволяющий осуществлять построение других элементов математической науки.

Прямая — совокупность множества точек, лежащих в одной плоскости и соединенных между собой таким образом, чтобы образовалась некоторая линия без перегибов и переломов. У нее нет вообще границ.

Если говорят, что нужно провести прямую, то чертится только ее часть, а затем обозначается произвольной строчной буквой (a, b, c и т. д.). Простейшая фигура не имеет начала и конца. Математически границы записываются следующим образом: (- ∞; ∞).

Следовательно, левая граница находится в точке — ∞, а правая — ∞.

Луч — разновидность прямой линии, имеющей только одну границу (точку). Из последней исходит прямая в бесконечность. Примером этой модели является Солнце, испускающее пучки световой энергии.

Оно является источником света, который может проходить не только через Солнечную систему, но и уходить за ее пределы в бесконечность (космическое пространство). Луч обозначается также строчной литерой.

Однако точку-источник следует обозначать прописной буквой.

Отрезком является часть прямой или луча, имеющая некоторые ограничения. Они обозначаются прописными литерами. Моделями являются следующие объекты и процессы: луч Солнца, идущий к Земле (Солнце — Земля), линейка, карандаш и т. д.

Плоским углом называется элементарная фигура, состоящая из общей точки и двух лучей, исходящих из нее и не лежащих на одной прямой. Измеряется в градусах и радианах. Далее следует разобрать виды прямоугольных треугольников.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольным называется треугольник, имеющий угол, градусная мера которого эквивалентна 90. Он состоит из трех сторон, вершин и углов. К дополнительным параметрам можно отнести следующие:

  • Периметр.
  • Площадь.
  • Высота.
  • Медиана.
  • Биссектриса.

Стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Третья сторона, соединяющая их, является гипотенузой. Все остальные углы являются острыми. Если сумма углов любого треугольника эквивалентна 180 градусам, то 180 — 90 = 90. Следовательно, сумма двух остальных углов составляет 90, а значит, они являются острыми.

Периметр — вспомогательная величина, характеризующая суммарное значение сторон фигуры. Существует также понятие полупериметра. Последним называется полусумма всех его сторон. Площадью называется характеристика треугольника, показывающая его размерность.

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе — отрезок, опущенный перпендикулярно относительно этой стороны. Ее еще называют проекцией. Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой стороны. Если она проведена из прямого угла, то эквивалентна половине гипотенузы. Биссектрисой является некоторая прямая, которая делит искомый угол на два равных значения.

Следует отметить, что этот тип треугольника бывает двух видов — разносторонний и равнобедренный. В последнем три последних параметра не совпадают (медиана, высота и биссектриса).

Следует рассмотреть свойства высоты в прямоугольном треугольнике равнобедренного типа. Она является медианой и биссектрисой. Далее следует обратить внимание на теорему, которая применяется для взаимосвязи сторон фигуры.

Теорема Пифагора

Для удобства треугольник следует обозначить символом «Δ». Связь между сторонами прямоугольного Δ была открыта древнегреческим ученым Пифагором.

Утверждение имеет следующую формулировку: в произвольном прямоугольном Δ (со сторонами a, b и c) должно выполняться равенство между квадратом гипотенузы c и алгебраической суммой квадратов двух катетов a и b.

Следует отметить, что при несоблюдении этого условия заданная фигура не содержит прямой угол. Математическая запись теоремы имеет такой вид: a2 + b2 = c2.

Доказательств теоремы существует огромное количество, поскольку применяются различные подходы. Однако наибольшей популярностью пользуется способ, полученный из аксиом. Кроме того, дополнительно применяется алгебраическая методика.

Для выполнения операции по доказательству соотношения a2 + b2 = c2 необходимо построить прямоугольный Δ с такими сторонами: BC = a, AC = b и AB = c.

После этого проводится высота к гипотенузе из вершины, которая является точкой пересечения двух катетов.

В результате образовались два равных угла ∠АНС и ∠ВНС. Кроме того, они являются прямыми по свойству высоты. Затем нужно рассмотреть Δ АВС и Δ АСН (Δ СВН), которые подобны по двум углам. На основании признака подобия можно вывести такие соотношения в виде пропорций:

  • а / с = НВ / а.
  • b / с = АН / b.

Далее нужно перемножить крайние и средние члены двух формул: а 2 = c * НВ и b 2 = c * AH. После этого для окончательного доказательства утверждения необходимо только сложить части. Получается равенство такого вида: а2 + b 2 = c * [НВ + AH] = c 2 .

Утверждение о высоте

Для прямоугольного Δ и высоты была выведена специальная теорема, позволяющая оптимизировать процесс вычисления основных его параметров. Ее формулировка имеет следующий вид: в прямоугольном ΔABC высота CE, опущенная на гипотенузу, делит ее по соотношению квадратов катетов к частям гипотенузы. Для доказательства нужно использовать такой алгоритм:

  • Построить ΔABC (∠C = 90).
  • Провести высоту к CE к гипотенузе AB.
  • Следует доказать соотношение BE / EA = (BC2) / (AC2).
  • Используя теорему о пропорциональности отрезков прямоугольного Δ, можно сделать вывод о подобии ΔABC и ΔACE.
  • На основании 4 пункта получается формула: CA / AB = EA / CA.
  • Перемножив крайние и средние члены по свойству пропорции, можно вывести CA2 = AB * EA.
  • Нужно рассмотреть ΔABC и ΔBCE. Их подобие доказывается аналогично пункту 4.
  • Пропорция имеет такой вид: BC / AB = BE / BC. Окончательно: BC2 = AB * BE.
  • Разделить полученные равенства в 8 и 6 пунктах на AC2. Формулу можно править таким образом: BC2 / AC2 = BE / EA.

​Теорема доказана. Существуют и другие утверждения о высоте в прямоугольном Δ. Их необходимо также рассмотреть, но без доказательств.

Тригонометрические функции

Полезными при решении различных задач считаются тригонометрические функции. Их всего четыре:

  • Синус (sin) эквивалентен отношению противолежащего катета к гипотенузе Δ: sin (∠CBA) = a / c.
  • Косинусом (cos) искомого угла называется величина, характеризующая отношение противолежащего катета к гипотенузе: cos (∠CBA) = b / c.
  • Тангенс (tg) — это значение отношения двух катетов (противолежащего к прилежащему): tg (∠CBA) = a / b.
  • Котангенс (ctg) является обратной величиной для функции tg (∠CBA). Он характеризует отношение прилежащего к противолежащему. Записывается в математическом виде следующим образом: ctg (∠CBA) = b / a или ctg (∠CBA) = 1 / (tg (∠CBA)= 1 / (a / b) = b / a.

Математики выделяют 4 обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg и arcctg. Применяются они, когда получено одно из значений тригонометрической функции. На основании этого можно найти градусную меру угла. Расчет выполняется с использованием специальных таблиц (Брадиса) или при помощи онлайн-калькуляторов.

Другие соотношения

Формулы для нахождения длины высоты происходят от некоторых теорем. Их необходимо знать, поскольку это позволит существенно сэкономить время и избежать множества ошибок при вычислениях.

Для этих целей необходимо начертить прямоугольный ΔABC, у которого ∠BAD = 90, а больший катет эквивалентен величине а.

Основные теоремы о высоте, проведенной из прямого угла, имеют такие формулировки:

  • Высота делит гипотенузу на проекции катетов: Ca = a2 / c и Cb = b2 / c.
  • Высота эквивалентна средней геометрической величине проекций катетов: h = [Сa * Cb](1/2).
  • Проведенная из угла 90 высота делит исходный треугольник на 2 ему подобных.
  • Длина искомой высоты соответствует отношению произведения катетов к линейному значению гипотенузы: h = (a * b) / c.
  • Если медиана проведена из угла прямого типа, то она эквивалентна 1/2 гипотенузы. Кроме того, ее основание совпадает с центром описанной около Δ окружности, радиус которой равен медиане.
  • Радиус вписанного круга в Δ эквивалентен соотношению r = (a + b — c) / 2.
  • Размерность прямоугольного Δ или площадь S соответствуют величине, равной 1/2 от произведения катетов: S = (1/2) * a * b.

Следует отметить, что величину размерности можно найти из производных формул: S = (1/2) * c2 * sin(∠CBA) * sin(∠BAC) = (1/2) * c2 * sin(∠CBA) * cos(∠CBA) = (1/2) * c2 * sin(∠BAC) * cos(∠BAC) = (1/2) * a2 * tg(∠BAC) = (1/2) * a2 * ctg(∠CBA).

Примеры решения задач

Для закрепления теоретических знаний специалисты рекомендуют решить несколько задач. Они делятся на простые и сложные. Первые решаются при помощи одной или нескольких элементарных операций. Таких примеров в интернете очень много. Однако попадаются и сложные варианты, которые позволяют использовать полученные знания на все 100%.

В интернете встречаются онлайн-приложения, позволяющие найти решение. Этот инструмент нужно использовать для проверки результата. Хотя многие им злоупотребляют, а затем не получают правильного результата.

Для начала необходимо взять готовый решенный пример и ознакомиться с ним. Далее попытаться воспроизвести его на бумаге. Подсматривать в исходник нельзя.

При помощи такого приема происходит формирование алгоритма решения в головном мозге.

Сложное задание

Условие задачи следующее: имеется ΔMNO (∠MNO = 90) с высотой NP и стороной NM = 3, а также с известным значением тригонометрической функции cos между большим катетом и гипотенузой (cos(∠NOM) = (35)(1/2) / 6). Следует найти OP. Для этого необходимо следовать такому алгоритму:

  • Найти sin(∠NOM): [sin(∠NOM)]2 + [cos(∠NOM)]2 = 1. Отсюда следует, что sin(∠NOM) = [1 — [cos(∠NOM)]2](1/2) = [1 — 35/36](1/2) = 1/6.
  • Вычислить длину гипотенузы: MO = MN / (sin(∠NOM)) = 3 / 1/6 = 18 (ед).
  • Рассмотреть ΔMNP: MN = 3, sin(∠NOM) = sin(∠MNP) = 1/6.
  • Найти MP: MP = MN * sin(∠MNP) = 3 * 1/6 = 1/2.
  • Искомая величина ОР высчитывается таким образом: OP = MO — MP = 18 — 1/2 = 17,5 (ед).

На основании пятого пункта можно сделать вывод, что длина искомого отрезка равна 17,5 (ед). Если проанализировать решение упражнения, то станет понятно, что очень часто применяются соотношения на основе тригонометрических функций.

Уровень турбо

В некоторых источниках задачи повышенной сложности называют «для турбо». К ним принадлежат все типы, которые имеют минимальный объем известных данных. Пусть дан равнобедренный ΔSTU (∠STU = 90). Гипотенуза на 2 больше катета. Необходимо найти его высоту TV, проведенную из прямого угла. Решение следует выполнять по такой инструкции:

  • Обозначить катет неизвестной «y», тогда ST = TU = y и SU = y + 2.
  • Записать формулу определения высоты: h = (a * b) / c.
  • Составить уравнение: (y + 2) = y2 + y2.
  • Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: y2 + 4 * y + 4 — 2 * y2 = -y2 + 4 * y + 4 = y2 — 4 * y — 4 = 0.
  • Найти величину дискриминанта: D = 16 + 16 = 32.
  • Первый корень: y1 = [-4 — 32(1/2)] / 2 = [-4 — 4 * 2(1/2)] / 2.
  • Второй: [-4 + 4 * 2(1/2)] / 2 = -2 + 2 * 2(1/2).
  • Первый не подходит, поскольку является величиной отрицательной.
  • ST = TU = -2 + 2 * 2(1/2) и SU = -2 + 2 * 2(1/2) + 2 = 2 * 2(1/2).
  • Расчет высоты TV: TV = (-2 + 2 * 2(1/2))2 / 2 * 2(1/2) = (4 — 8 * 2(1/2) + 2) / 2 * 2(1/2) = (6 — 8 * 2(1/2)) / 2 * 2(1/2) = 3 — 4 * 2(1/2) / 2(1/2) (ед).

Следует отметить, что в скобках необходимо указывать единицу измерения. Если размерность последней не дана, то нужно указывать ее условно.

Таким образом, для решения сложных задач по геометрии следует знать формулу высоты в прямоугольном треугольнике. Это позволяет оптимизировать решение и не совершать ошибок при вычислениях.

Источник: https://nauka.club/matematika/geometriya/vysot%D0%B0-v-pryamougolnom-treugolnike.html

Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы

Высота в прямоугольном треугольнике – свойства, признаки и формулы расчетов

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Прямоугольный треугольник (понятие, определение)

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Свойства прямоугольного треугольника

Формулы прямоугольного треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник (понятие, определение):

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Гипотенуза (с греч. ὑποτείνουσα – «натянутая») – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.

Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Катет (с греч. κάθετος – «перпендикуляр, опущенный, отвесный») – одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол.

Для непрямоугольного треугольника гипотенуза и катеты не существуют.

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

АВ, АС – катеты прямоугольного треугольника, ВС – гипотенуза прямоугольного треугольника, ∠ ВАС = 90°

Равнобедренный треугольник может быть прямоугольным (равнобедренным прямоугольным треугольником).

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Признаки равенства прямоугольных треугольников основаны и вытекают из общих признаков равенства треугольников.

1. Равенство по двум катетам.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам

АВ = А1В1, АС = А1С1

2. Равенство по катету и прилежащему острому углу.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу

АВ = А1В1, ∠АВС = ∠А1В1С1

3. Равенство по гипотенузе и острому углу.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

ВС = В1С1, ∠АВС = ∠А1В1С1

4. Равенство по гипотенузе и катету.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

ВС = В1С1, АС = А1С1 

5. Равенство по катету и противолежащему острому углу.

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 6. Равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

АС = А1С1, ∠АВС = ∠А1В1С1

Свойства прямоугольного треугольника:

1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

И наоборот, если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚

b = c / 2

3. Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

c2= a2+ b2​​ ,

где a, b – катеты, c – гипотенуза.

Рис. 8. Прямоугольный треугольник

4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

И соответственно радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы.

 ,

где c – гипотенуза.

                         Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность         

5. В прямоугольном треугольнике медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

 Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу

АМ – медиана прямоугольного треугольника, падающая на гипотенузу, АМ = ВМ = МС, АМ = ВС/2

6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника подобные исходному.

 Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла

АВ/ВС = АН/АС = ВН/АВ

Формулы прямоугольного треугольника:

Пусть a и b – длины катетов прямоугольного треугольника, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, h – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе (АН), R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 9, 11, 12).

Формулы сторон прямоугольного треугольника (a, b, c) по теореме Пифагора:

c2= a2+ b2 ,

a2= c2​ – b2,

b2= c2– a2​.

Формула радиуса вписанной окружности (r):

.

Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность

Формула радиуса описанной окружности(R): 

.

Формулы площади (S) прямоугольного треугольника: 

.

Формулы высоты (h)прямоугольного треугольника:

.

Квадрат

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

карта сайта

Источник: https://xn--80aaafltebbc3auk2aepkhr3ewjpa.xn--p1ai/pryamougolnyiy-treugolnik-svoystva-priznaki-i-formulyi/

Pravo-consut
Добавить комментарий